К кому? К мыше? Или к мыши?

Правильно: к мыши.

Объяснение. Предлог «к» требует дательного падежа (к кому? к чему?). Существительное «мышь» — женского рода, 3-го склонения. В дательном падеже единственного числа у таких слов окончание -и:
мышь → мыши (к мыши).

Форма «к мыше» — просторечная и нормативным русским языком не признаётся.

Для наглядности — всё склонение «мышь» (ед. число):

• И.п.: мышь

• Р.п.: мыши

• Д.п.: мыши → к мыши

• В.п.: мышь

• Т.п.: мышью

• П.п.: (о) мыши

Нюанс произношения: после шипящих «ж/ш» пишется и, но произносится близко к [ы], поэтому «мыши» звучит как [мышы], хотя пишется через и.