Гласные буквы, которые пишутся после Ж, Ш, Ч, Щ.

Коротко и по-делу — это «шипящие» (Ж, Ш, Ч, Щ). Для них в русском есть несколько устойчивых правил.

1. «ЖИ—ШИ» — пишем И
   • жи-ши всегда через И: жИть, дрожИ, шИна, мышИ.
   • Ы после Ж, Ш не пишется (норма современного языка).

2. «ЧА—ЩА» — пишем А
   • ча-ща только с А: чАшка, чАстый, щАвель, чАща.
   • сочетания чя, щя в корнях русских слов не пишутся.

3. «ЧУ—ЩУ» — пишем У
   • чу-щу только с У: чУдный, чУшка, щУка, щУчий.
   • сочетания чю, щю в исконных словах не пишутся (в заимствованиях бывает: брошЮра, жЮри, парашЮт — это исключения-иностранцы).

4. И после Ч и Щ (и после Ж, Ш — см. п.1)
   • после Ч и Щ тоже пишется И, а не Ы: плОчИ, клещИ, ключИ, ночьЮ — (в форме «ночЬЮ» пишется Ю из-за мягкого знака, см. ниже).
   • сочетания чы, шЫ, жЫ, щы — не норма.

5. Е/Ё/О после шипящих
   • В корнях под ударением чаще пишется Ё: шЁпот, жЁлтый, чЁрный, щЁтка. (В печати точки над Ё нередко опускают, но по правилу это Ё.)
   • В суффиксах и окончаниях существительных/прилагательных под ударением пишется О: ключОм, ножОм, плащОм; горячО, свежО.
   • Без ударения обычно Е: шЕптать, чЕрнЕть, свежЕнький.
   • В парных суффиксах -ёв-/-ев- под ударением — Ё (ночЁвка), без ударения — Е (ночЕвать).

6. Я/Ю после Ч, Щ
   • после Ч и Щ буквы Я, Ю обычно обозначают не «йа/йу», а звуки [а], [у] через традиционные сочетания ЧА/ЧУ, ЩА/ЩУ (см. пп.2–3).
   • Я/Ю появляются после мягкого знака: чьЯ, чьЮ, вещЬЮ — это уже «ь + я/ю».
   • В заимствованных словах возможны ЖЮ/ШЮ: жЮри, брошЮра, парашЮт — историческая передача иноязычных сочетаний.

Итого — запоминалки:
• ЖИ—ШИ пиши с И.
• ЧА—ЩА пиши с А.
• ЧУ—ЩУ пиши с У.
• Под ударением в корнях чаще Ё (жЁлтый), а в окончаниях/суффиксах — О (ножОм), без ударения — Е (ночевАть).
• Я/Ю после Ч, Щ — в основном только с мягким знаком или в заимствованиях.