Как проверить слово "соседнем" (двору)?

Это прилагательное сосе́днем от слова сосе́дний.

1. Проверка безударной гласной в корне: пишем е (сосед-), потому что проверочное слово — сосе́д (в нём корневая гласная под ударением).

2. Окончание по падежу:

• Если говорим с предлогом в о месте: в соседнем дворе (Предложный падеж: каком? — соседнем).

• Если с существительным двору (Дательный падеж): нужно к соседнему двору (Дательный: к какому? — соседнему).

Итого: корень проверяется словом сосе́д, а форма при существительном двору должна быть соседнему.