Часть речи слова "значительно"

Кратко: «значи́тельно» бывает наречием и краткой формой прилагательного (ср. род, ед. ч. от «значи́тельный»).

1) Наречие
Значение: ‘в большой степени, гораздо, намного; выразительно’.
Вопрос: как? насколько? в какой степени?
Роль: обстоятельство меры/степени или образа действия.
Примеры:

• «Цены значительно выросли» (насколько выросли?).

• «Задача оказалась значительно сложнее» (степень признака).

• «Он значительно улыбнулся» (‘выразительно’).
  Признаки: неизменяемо; можно заменить «намного/гораздо/в значительной степени».

2) Краткая форма прилагательного «значительный» (ср. род, ед. ч.)
Значение: ‘большой по величине/важности’.
Вопрос: каково? каков предмет?
Роль: именная часть составного сказуемого.
Примеры:

• «Повышение значительно» (= «повышение значительное»).

• «Увеличение было значительно» (= «увеличение было значительным»).
  Признаки: согласуется только по форме краткого прилагательного (для ср. рода ед. ч. — «значительно»); можно развернуть в полную форму: «значительное».

Как отличить быстро:

• Подставьте «намного/гораздо». Если смысл сохраняется — это наречие: «Цены намного выросли».

• Замените на полную форму прилагательного «значительное» (или «было значительным»). Если подходит — это краткое прилагательное: «Повышение было значительным».