К какой части речи относится слово "далеко"?

«Далеко» — это наречие.

1. Прямое значение (место/дистанция): отвечает на вопрос «где? насколько далеко?».
   Примеры: «Он ушёл далеко», «Дом далеко от дороги». Здесь это обстоятельство места/расстояния.

2. Сравнение и степень: образует сравнительную форму дальше и сочетания типа «самое далеко», «дальше всего» — типичное поведение наречий.

3. Сказуемое в безличных конструкциях: нередко выступает в роли составного центра высказывания:
   «До станции далеко», «Ещё далеко до утра». Формально это всё то же наречие, которое выполняет функцию сказуемого в безличном предложении.

4. Усилительная функция при отрицании: в сочетаниях вида «далеко не простой», «далеко не лучший» слово служит средством усиления отрицания. В школьной традиции это обычно трактуют как наречие в роли частицы-усилителя (или просто как частицу в данном употреблении), но лексема остаётся той же.

Итого: по части речи «далеко» — наречие (иногда в роли сказуемого или усилителя отрицания).