Синоним к слову "возиться".

Я бы предложил сразу несколько близких по смыслу вариантов — в зависимости от контекста, который тебе нужен:

1. Копаться
   «Целый день копаюсь в бумагах», «копаюсь в телефоне» — подойдёт, когда человек долго и немного бессистемно занимается чем-то мелким, рутинным.

2. Торчать (в значении «долго находиться, возиться где-то»)
   «Весь день торчит в гараже, с машиной возится». Чаще разговорное и чуть более просторечное.

3. Пыхтеть
   «Сидит, пыхтит над задачей» — подчёркивает усилия и некоторую тяжесть процесса, когда человек старательно, но медленно что-то делает.

4. Маячиться (в значении «вертеться, бесконечно что-то делать»)
   «Целый день маячусь на кухне» — разговорное, с оттенком усталости и раздражения.

5. Крутиться
   «Целый день крутилась с детьми» — активная суета, множество мелких дел.

6. Су́етиться
   Когда человек бегает туда-сюда, делает много мелких действий: «С утра суетится по дому».

7. Нянчиться
   В значении «долго и хлопотно ухаживать, заботиться»: «Нянчиться с ребёнком», «нянчиться с проектом». Тут есть оттенок заботы, но иногда и досады: слишком много внимания мелочам.

8. Колдовать (разг.)
   «Колдует над этим проектом» — образный вариант, когда человек долго и тщательно что-то делает, часто творческое или сложное.

9. Мучиться
   «Мучаюсь с этой программой уже третий час» — подчёркивает, что дело даётся тяжело, долго и не очень приятно.

10. Развозиться / разодра́ться (просторечные, разговорные)
    В смысле «слишком долго возиться, застрять в мелочах»: «Не развозись с этим», «Чего разодрался с этой мелочью?».

Если нужен самый нейтральный и близкий по смыслу к «возиться» с оттенком «заниматься чем-то долго, кропотливо и по мелочам», чаще всего подойдут «копаться», «крутиться» или «суетиться» — выбор зависит от того, хочешь ли ты подчеркнуть больше беспорядочную суету (суетиться, крутиться) или медленное, тщательное занятие (копаться).