Как правильно строжайшИй или строжайшЕй?

Правильны оба варианта — это разные формы одного и того же прилагательного в превосходной степени от «строгий».

• строжайший — муж. род, ед. число, именительный падеж:
  «строжайший запрет», «строжайший контроль».

• строжайшей — жен. род, ед. число, в косвенных падежах (род., дат., предл., а также твор. как вариант):
  «при строжайшей секретности», «соблюдение строжайшей диеты», «к строжайшей ответственности», «о строжайшей тайне», «со строжайшей осторожностью».

Если существительное женского рода — будет «строжайшая/строжайшей» по нужному падежу; если мужского — «строжайший/строжайшего» и т. д.