Вот набор примеров, показывающих разные значения и оттенки каждого глагола.

«Заливать»

1. Сильный ливень целый час заливал двор, и лужи мгновенно расползались по асфальту.

2. Волны с разбега заливали палубу, и матросам приходилось держаться за леера.

3. На рассвете прожекторы заливали сцену холодным светом.

4. Строители заливали фундамент бетоном до самой опалубки.

5. Бабушка заливала клубнику густым сиропом, чтобы сделать варенье.

6. Он опять заливает — половину истории явно придумал на ходу.

7. Перед уходом мы залили костёр водой, чтобы ни искры не осталось.

8. От слёз у неё прямо-таки заливало глаза, приходилось часто моргать.

9. Не «скидывай» видео мне в мессенджер, лучше залей на облако и пришли доступ.

10. Маслом заливать сковороду не нужно — достаточно тонкой плёнки.

«Запивать»

1. Таблетки врач велел запивать чистой водой, не чаем и не соком.

2. Острую шаурму он привык запивать кефиром — так легче.

3. Пирог ещё горячий, запивай его тёплым чаем, а не холодной колой.

4. Горе он сначала пытался запивать крепким, но вовремя остановился и обратился к психологу.

5. Сушёные финики удобно запивать молоком — не так приторно.

6. Крепкий кофе она запивала стаканом воды, чтобы не пересушивало во рту.

7. Жгучие специи лучше запивать не водой, а йогуртом — жир смягчает остроту.

«Запевать»

1. Соловей начинал запевать на рассвете, и сад будто оживал.

2. Дирижёр только поднял руку — и детский хор уже запевает первую фразу.

3. Ветер в старой трубе к вечеру запевал тоненько и протяжно.

4. На посиделках он любил запевать «Катюшу», а остальные подхватывали.

5. Не запевай раньше времени: дождись, когда зададут тон.

6. Девчонки запевали частушки, и вся компания втягивалась в хоровод.

7. Стоит самовар поставить на огонь — через минуту он начинает запевать.