Не под каким или ни под каким

Правильно почти всегда: «ни под каким».

Почему так: частица ни употребляется в сочетании с отрицанием, чтобы его усилить:
«Я ни под каким предлогом не соглашусь.»
«Ни при каких обстоятельствах это запрещено.»
Здесь есть либо явное «не», либо само сказуемое несёт отрицательный смысл («запрещено», «исключено», «невозможно»). Поэтому в нейтральной речи выбираем «ни под каким».

Когда допустимо «не под каким»: когда есть противопоставление или уточнение, и «не» отрицает признак, а не всё сразу:
«Он выступал не под каким-либо чужим брендом, а под своим.»
«Повернуть нужно не под каким попало углом, а под 45°.»

Итог: без противопоставления — «ни под каким»; при явном противопоставлении/уточнении — возможно «не под каким».