Синоним к слову беззаботный

Коротко: лучшие нейтральные синонимы — «беспечный», «безмятежный».
По ситуации подойдут и близкие по смыслу: «неозабоченный», «весёлый», «жизнерадостный», «легкосердечный».

Оттенки и уместность:

• Беспечный — самый прямой эквивалент: человек живёт легко, не тревожится о проблемах. Нейтрально-разговорное.
  Пример: «Беспечный студент прогулял пары».

• Безмятежный — про внутренний покой, умиротворённость, чаще о настроении или атмосфере. Более книжное.
  Пример: «Безмятежный сон».

• Неозабоченный — подчёркивает отсутствие конкретной заботы/обременённости. Нейтральное, чуть книжное.
  Пример: «Неозабоченный выражением лица».

• Весёлый, жизнерадостный — эмоциональная окраска «радости» без тревог. Контекстно подходит.
  Пример: «Жизнерадостная, беззаботная девчонка».

• Легкосердечный — поэтичное/книжное, про лёгкость на душе, иногда с намёком на поверхностность.
  Пример: «Легкосердечный герой романа».

С оттенком неодобрения (осторожно):

• Легкомысленный — «беззаботный» до степени непродуманности; может звучать упрёком.
  Пример: «Легкомысленное отношение к деньгам».

Неудачные в роли синонима (часто путают):

• Безалаберный, небрежный, бездумный — это уже про неорганизованность/халатность, а не про лёгкость без тревог.

Итог: в большинстве случаев заменяйте «беззаботный» на «беспечный»; для более спокойного, идиллического оттенка используйте «безмятежный»; если нужен лёгкий разговорный тон — «весёлый/жизнерадостный»; для лёгкости с риском поверхностности — «легкомысленный».