Усердно - какая часть речи?

Коротко: чаще всего «усердно» — это наречие (от прилагательного «усердный»): работать усердно, учиться усердно. Отвечает на вопрос как?, не изменяется, может иметь степень сравнения: усерднее трудиться; трудиться наиболее усердно.

Но в ряде случаев «усердно» может быть и краткой формой прилагательного среднего рода (от «усердный»), если стоит в роли сказуемого и согласуется с существительным среднего рода:
Старанье было усердно.
Такое употребление сейчас редкое и стилистически книжное; обычно выбирают наречие: Он усердно трудился.