1) НЕЖИШЬСЯ (на солнышке) - глагол на -ИТЬ II спряжения, поэтому пишем в 3 лице ед. числа окончание ИШЬ. 2) овца ЩИПЛЕТ траву - в личных окончаниях глаголов I спряжения пишется буква Е. 3) грешники КАЮТСЯ - в окончании глагола I спряжения в форме 3 лица множественного числа пишется буква Ю. 4) (он) СТЕЛЕТ - в личном окончании глаголов II спряжения пишется Е. 5) ГОНЯТ (они) - в окончании глагола II спряжения в форме 3 лица множественного числа пишется Я.

Разберу по пунктам и поправлю неточности в объяснениях.

1. НЕЖИШЬСЯ (на солнышке) — пишется верно: нежишься. Глагол нежиться — II спряжение (инф. на -иться). Форма 2-го лица ед. числа: -ишь (ты нежишься). В вашем объяснении перепутано лицо: это не 3-е, а 2-е лицо.

2. овца ЩИПЛЕТ траву — верно: щиплет. Щипать — I спряжение; в 3-м лице ед. числа окончание -ет. Здесь появляется вставка -л- по модели: щиплю, щиплешь, щиплет, щиплем, щиплете, щиплют.

3. грешники КАЮТСЯ — верно: каются. Каю́ться — I спряжение; 3-е лицо мн. числа даёт окончание -ются (буква Ю).

4. (он) СТЕЛЕТ — написание верное, а вот правило у вас неверное. Стелить — исключение: это I спряжение (хотя и на -ить). Поэтому в 3-м лице ед. числа окончание -ет: стелет.

5. ГОНЯТ (они) — верно: гонят. Гнать — II спряжение; 3-е лицо мн. числа — окончание -ят (буква Я).

Для ориентира:
I спр.: -у/-ю, -ешь, -ет, -ем, -ете, -ут/-ют.
II спр.: -у/-ю, -ишь, -ит, -им, -ите, -ат/-ят.
И помните про «особые» глаголы II спряжения, не всегда на -ить: гнать, держать, дышать, слышать, видеть, ненавидеть, обидеть, зависеть, терпеть, вертеть, смотреть; а брить и стелить — I спряжение.