1. Мать попросила дочь налить себе борща. 2. Отец велел сыну вымыть за собой посуду. 3. Приезжий приказал слуге отнести свои вещи в номер. 4. Ушёл из своей жизни Миттеран. 5. Вдруг я услышал своё имя.

Разберу соотнесённость местоимений «себе/свой» и укажу, где есть ошибка.

1. «Мать попросила дочь налить себе борща.»
   В инфинитивном обороте («налить…») подразумеваемый субъект — та, кто будет наливать, то есть дочь. Местоимение «себе» соотносится именно с дочерью: «Мать попросила дочь (чтобы та) налила себе борща». Предложение грамматически верно (хотя для устранения возможной двусмысленности иногда перефразируют: «…налить ей борща», если речь о матери).

2. «Отец велел сыну вымыть за собой посуду.»
   Субъект действия «вымыть» — сын. «За собой» отсылает к нему: вымыть посуду «за собой» = после своих действий. Норма соблюдена.

3. «Приезжий приказал слуге отнести свои вещи в номер.»
   Здесь ошибка. По правилу «свой» относится к субъекту действия; субъект инфинитива «отнести» — слуга. Получается, что «свои вещи» — вещи слуги, а по смыслу нужны вещи приезжего. Исправления:
   — «Приезжий приказал слуге отнести его вещи в номер.»
   — или перестройка: «Приезжий приказал отнести в номер свои вещи» (теперь субъект — приезжий).

4. «Ушёл из своей жизни Миттеран.»
   «Своей» соотносится с подлежащим «Миттеран». Формально ошибок нет, хотя стилистически обычно говорят: «Ушёл из жизни Миттеран» (без «своей»).

5. «Вдруг я услышал своё имя.»
   «Своё» относится к подлежащему «я». Всё корректно.

Итог: ошибка в предложении 3; остальные грамматически допустимы (в 1-м и 4-м возможна стилистическая правка по желанию).