Чем отличаются слова "отвечать" и "ответить"?

Коротко: это видовая пара. «Отвечать» — несовершенный вид (процесс, привычка, повторяемость), «ответить» — совершенный вид (разовый факт с результатом: ответ дан).

Подробно по пунктам:

1. Процесс vs результат

• Отвечать подчёркивает течение действия: «Он отвечает на вопросы», «Я долго отвечал».

• Ответить фиксирует завершённость: «Он ответил», «Я так и не ответил».

2. Времена

• У отвечать есть настоящее: «Я отвечаю сейчас».

• У ответить настоящего значения нет: форма «отвечу» — это будущее («Завтра отвечу»).

3. Совместимость с обстоятельствами

• Несовершенный вид дружит с длительностью/повторяемостью: «долго, часто, всегда отвечал».

• Совершенный — с моментальностью/результатом: «сразу, наконец, уже ответил».

• «Начал отвечать» — нормально; «начал ответить» — нельзя.

4. Императивы

• Отвечай(те)! — процесс/повтор: «Отвечайте полными предложениями».

• Ответь(те)! — разовый результат: «Ответьте на письмо!».

5. Отрицание

• «Он не отвечал» — не занимался этим (не было процесса/привычки).

• «Он не ответил» — результата нет (ожидали, но ответа не последовало).

6. Управление (у обоих одинаковое)

• Ответить/отвечать на что? — на вопрос, на письмо.

• Кому? — учителю, клиенту.
  Примеры: «Ответить на письмо клиенту», «Отвечать на вопросы учителя».

7. Смысловой рубеж (цель/граница)

• Для ответить важен момент достижения цели — реплика/сообщение прозвучала.

• Отвечать может означать и попытки, и подготовку, и «быть в процессе», даже без гарантии, что ответ будут засчитан: «Отвечал, но сбился».

8. В условных/временных конструкциях

• «Если ответишь, сообщи» (факт свершения).

• «Если будешь отвечать, говори громче» (процесс).

Итого: выбираете «отвечать», когда важны длительность, повторяемость или сам ход действия; «ответить» — когда важен единичный завершённый результат «ответ дан».