бывает ли суффикс "чик"

Да, суффикс -чик- в русском языке бывает — и сразу в двух ролях.

1) Суффикс -чик- со значением лица (делателя)

Образует названия людей по роду занятий/действию:
переводчик, грузчик, разносчик, перевозчик, сборщик и т. п.

Правописание -чик- / -щик-
Выбор суффикса зависит от конечного согласного основы:

• пишем -чик- после д, т, з, с, ж: переводчик, развоздчик, грузчик, разносчик, урожчик (разг.);

• в остальных случаях пишем -щик-: каменщик, стекольщик, культурщик, плотник → плотник — плотник-щик не образуется; ср.: плотник — плотницкий.

Обратите внимание: соединение сч в разносчик — это именно суффикс -чик-, а не -щик-: пишется две буквы (сч), а не одна щ.

2) Уменьшительно-ласкательный -чик-

Образует ласкательные/уменьшительные формы существительных:
стульчик (от стул), зайчик (от заяц), пальчик (от палец), рубчик (о маленьком рубце) и др.

Важно не путать «-чик-» с «-ик-»

Иногда буквы -чик на письме появляются не из суффикса -чик-, а потому что основа сама оканчивается на ч, и добавляется суффикс -ик-:
ключик = ключ + -ик-, мячик = мяч + -ик-.
Проверка простая: если при «минус суффикс» остаётся основа на ч (ключ, мяч), значит это -ик-. Если ч появляется только при словообразовании (стул → стульчик, заяц → зайчик), значит это именно -чик-.

Итог: суффикс -чик- существует и активно используется: как словообразовательный суффикс лица (с правилом выбора с -щик-) и как уменьшительно-ласкательный.