Белый и белка — однокоренные?

Короткий ответ: в современном школьном разборе — нет, а по происхождению — да.

Почему так:

• Синхронно (как учат в школе). Однокоренные слова должны не только иметь общее звучание корня, но и общий смысловой признак.
  У слова белый корень бел-: белый, белеть, побелка, белизна, отбелить.
  У слова белка корень белк- и свой «гнездовой» набор: белка — бельчонок — беличий — бельчиха. Смысловой связи «белый» ↔ «белка (зверёк)» здесь сейчас нет. Поэтому в школьных заданиях их считают не однокоренными.

• Этимологически (по происхождению). Слово белка восходит к праславянскому корню со значением «белый» и связано с особенностями окраски (зимний белый мех, светлое брюшко). То есть исторически это слово действительно родственно «белому».

Итог: для морфемного/школьного разбора — не однокоренные; исторически — родственные.