Как объяснить правописание приставки "не" в слове "неуспешный"?

Пишем слитно: неуспешный.

Почему так: это качественное прилагательное, которое без «не» существует (успешный) и с «не» образует новое слово-антоним со значением «лишённый успеха, провальный». По правилу, если прилагательное с «не» можно заменить синонимом без «не» — пишется слитно:
неуспешный проект = провальный проект, безрезультатный проект.

Раздельно было бы в случаях логического противопоставления или при усиливающих отрицание словах:

• не успешный, а провальный конкурс (есть «а» и противопоставление);

• совсем не успешный / вовсе не успешный / далеко не успешный запуск (есть слова совсем, вовсе, далеко и т. п.).

Итог: в нейтральном употреблении корректно неуспешный (слитно); раздельно — только при явном отрицании или противопоставлении.