Какое спряжение у глагола "боюсь, боишься"?

Это глагол II спряжения.

Проверяется по личным окончаниям настоящего времени:
— 2 л. ед. ч.: боишься — окончание -ишь (типично для II спряжения);
— 3 л. мн. ч.: боятся — окончание -ят(ся) (тоже признак II спряжения).

Полная парадигма: боюсь, боишься, боится, боимся, боитесь, боятся — все окончания соответствуют II спряжению. Инфинитив — бояться (несов. вид, возвратный).