Ниже — правильные буквы и «графическое» объяснение (разбор по морфемам + правило у каждого гнезда).

1) Чередование -ЛАГ-/-ЛОЖ- («пишем А перед -А-, иначе О»)

• за/ложи/ть — корень -лож- (нет суф. -а- → о).

• из/лагать — -лаг- (+ суф. -а- → а).

• из/ложени/е — -лож- (нет -а- → о).

• пре/д/лагать — -лаг- (+ -а- → а).

• из/ложить — -лож- (нет -а- → о).

• с/ложить — -лож- (нет -а- → о).

• вы/ложить — -лож- (нет -а- → о).

• на/лагает/ся — -лаг- (+ -а- → а).

• ложил/ся — -лож- (нет -а- → о).

• по/ложени/е — -лож- (нет -а- → о).

2) Чередование -РАСТ-/-РАЩ-/-РОС- («А перед С/Щ, О перед С; исключения»)

• ра/сти́ — -раст- (перед -ст- → а).

• вы/ро́с — -рос- (перед -с- → о).

• расти́тель/н/ый — -раст- (перед -ст- → а).

• по/ро́сль — -росл- (перед -сл- → о).

• про/ро/с/ли — -рос- (перед -с- → о).

• ро/сто́к — исключение (не по правилу: о).

• на/ра/ста́/ет — -раст- (перед -ст- → а).

• расти́/тель/ность — -раст- (перед -ст- → а).

• недо/ро́сль — исключение (о).

• о́трасль — исключение (о).

• во/до/ро́сли — -рос- (перед -с- → о).

• Рости/сла́в — исключение (о).

• ро/сто́к (повтор) — исключение (о).

3) Чередование -КАС-/-КОС- («А перед суф. -А-, иначе О»)

• при/ко/сну́ть/ся — -кос- (нет -а- → о).

• ка/са́ть/ся — -кас- (+ суф. -а- → а).

• ка/са́тель/н/ая — -кас- (+ суф. -а- → а).

• ко/сну́сь — -кос- (нет -а- → о).

4) Чередование -ГОР-/-ГАР- («без ударения О, под ударением А; есть исключения»)

• го/ре́ни/е — -гор- (без ударения → о).

• вы́/га/рки — исключение: пишется а (вы́гарки) вопреки правилу.

5) Чередование -ЗАР-/-ЗОР- («без ударения А, под ударением О; есть исключения»)

• за/ря́ — -зар- (без ударения на гласной корня → а).

• за́/рево — исключение: а под ударением (не «зóрево»).

• пти́ца-за/ря́н/ка — -зар- (без ударения на гласной корня → а).

6) Однокоренные с -ЛОЖ-/-ЛАГ-, итоговые формы

• из/ложить (см. п. 1).

• с/ложились — -лож- (нет -а- → о).

• сло/жи́ть (см. п. 1).

Итог: слова с вставленными буквами (как в задании)

заложить, расти, излагать, изложение, вырос, растительное, поросль, проросли, предлагать, росток (искл.), нарастает, изложить, прикоснуться, предполагать, сложить, зарево (искл.), выложить, выгарки (искл.), водоросли, горение, касаться, сложились, налагается, ложился, положение, заря, вырос, растительность, касательная, недоросль (искл.), птица-зарянка, коснусь, росток (искл.), отрасль (искл.), Ростислав (искл.).

Пояснение по «исключениям»

• Для -РАСТ-/-РАЩ-/-РОС-: росток, Ростов, Ростислав, ростовщик, отрасль, недоросль.

• Для -ЗАР-/-ЗОР-: зарево — пишется а под ударением.

• Для -ГОР-/-ГАР-: выгарки — пишется а без ударения.