Объясните правописание деепричастий "недослышав" и "недодышав".

Слитно: недослышав, недодышав.

Почему так. Приставка недо- пишется слитно с глаголами и деепричастиями, если имеет значение недостаточности, неполноты действия — «мало, не вполне, не в полной мере».

• недослышав = плохо расслышав, не вполне услышав;

• недодышав = сделав вдох не в полную силу, не до конца насытившись воздухом.

Проверка по смыслу: если можно подставить синонимы «плохо, недостаточно, не вполне» — пишем слитно (недо-).

Чем не путать. Раздельное не до пишется, когда смысл — «не доведя действие до конца»:
не дослушав рассказ, он ушёл (= не довёл слушание до конца). Здесь нет значения «плохо слышал», поэтому раздельно.

Итак, в ваших примерах выражена именно неполнота/недостаточность действия, поэтому слитно: недослышав, недодышав.