Какие части речи могут иметь род, число, падеж, время и лицо?

Коротко по категориям (для современного русского языка).

Род

• Имя существительное (стол — м.р., книга — ж.р., море — ср.р.).

• Имя прилагательное (полные и краткие формы: новый, новая, новое; нов/нова/ново).

• Местоимения-прилагательные (этот, такая, моё и т. п.); личные местоимения 3-го лица в ед. числе отражают род (он/она/оно).

• Числительные:
  — порядковые склоняются как прилагательные (пятый/пятая/пятое);
  — среди количественных род различают «один» (один/одна/одно) и «два» (два/две); у «три, четыре» грамм. рода нет, но есть родовое согласование управляемого слова.
  — собирательные рода не имеют.

• Причастия (как «прилагательные от глагола» согласуются по роду: читающий/читающая/читающее).

• Глагол в прошедшем времени/условном наклонении в ед. числе различает род (он читал, она читала, оно читало).

Число

• Существительные (ед. и мн.; есть pluralia/singularia tantum).

• Прилагательные (полные и краткие), местоимения-прилагательные, порядковые числительные, причастия — согласуются с существительным в числе.

• Глаголы (личные формы: я читаю — мы читаем; прош. время: читал — читали).

• Личные местоимения (я/мы, ты/вы, он — они и т. п.).

Падеж

• Существительные, прилагательные (полные и краткие), местоимения (кроме некоторых неизменяемых), числительные (большинство количественных, все порядковые), причастия — имеют/принимают падежные формы (или согласуются в падеже).

• Наречия, деепричастия, инфинитив — падежа не имеют.

Время

• Глагол (личные формы): настоящее, прошедшее, будущее (простое/сложное).

• Причастия различают настоящее и прошедшее (читающий — прочитавший).

• Инфинитив, деепричастие, прилагательные времени не имеют.

Лицо

• Глагол (личные формы): 1-е, 2-е, 3-е лицо в наст./буд. времени (я читаю, ты читаешь, он читает). В прошедшем лице нет.

• Личные местоимения сами по себе выражают лицо (я — 1-е, ты — 2-е, он/она/оно — 3-е).

Если сжать до ответа «какие части речи могут иметь…», то:

• Род: существительные, прилагательные (вкл. краткие), местоимения-прилагательные и личные 3-го лица (ед. ч.), порядковые числительные, «один/два» из количественных, причастия, глаголы в прош. времени/условном (ед. ч.).

• Число: существительные, прилагательные (вкл. краткие), местоимения, числительные, причастия, глаголы (в т. ч. прош. время), личные местоимения.

• Падеж: существительные, прилагательные (вкл. краткие), местоимения, числительные, причастия.

• Время: глаголы (личные формы), причастия (настоящее/прошедшее).

• Лицо: глаголы (личные формы), личные местоимения.