Какой частью речи являются слова "здравствуй" и "извини"?

Коротко: «здравствуй» — междометие (этикетная реплика), исторически — императив глагола «здравствовать»; «извини» — глагол в форме повелительного наклонения, но в роли вежливой реплики без зависимых слов может функционировать как междометие.

Поясню.

• «Здравствуй» / «здравствуйте» сегодня рассматриваются как междометия: это устойчивые слова-приветствия, не называют действия, не требуют зависимых слов и целиком равны высказыванию («Здравствуй!»). Этимологически это форма повелительного наклонения глагола здравствовать, но в современном языке закрепилась междометная функция.

• «Извини» / «извините» — это глагол, повелительное наклонение от извинить: «Извини меня», «Извините, что опоздал». Здесь слово обозначает действие и может иметь дополнение.
  Однако когда «извини(те)» употребляется самостоятельно как этикетная формула («Извините!» — чтобы привлечь внимание или извиниться без пояснений), оно фактически выполняет междометную функцию.

Итого: «здравствуй» — междометие (с глагольным происхождением); «извини» — императив глагола, но в изолированном, этикетном употреблении — междометное.