Наречие — изменяемая часть речи?

Коротко: нет. В школьной и вузовской грамматике наречие считается неизменяемой частью речи.

Почему так говорят:

• Наречия не имеют категорий рода, числа, падежа, лица, времени и т. п., поэтому их форма обычно не меняется: вчера, рядом, тихо, дома, налево, сверху.

• То, что иногда выглядит как «изменение», — это либо степени сравнения у качественных наречий, либо словообразовательные вариации, а не обычное словоизменение.

Про степени сравнения:

• У качественных наречий на -о/-е возможны сравнительная и превосходная степень:
  быстро → быстрее; близко → ближе; хорошо → лучше; плохо → хуже.
  Превосходную степень чаще передают аналитически: быстрее всего, наиболее быстро, ближе всего.
  Формы типа «самый быстро» считаются некорректными (правильно «самый быстрый» — это уже прилагательное).

• Множество наречий вовсе не образуют степеней сравнения: очень, вчера, вдали, справа, вместе, едва, сверху и т. п.

Что не считается изменением:

• Приставки и частицы у местоимённых наречий (где-то, когда-либо, кое-как) — это словообразование, а не грамматическое изменение формы.

• Орфографические варианты с дефисом/слитно/раздельно (по-русски, издалёка, сзади) — вопрос правописания, не словоизменения.

Итог: наречие — неизменяемая часть речи; изменяемость у него проявляется лишь в системе степеней сравнения у ограниченного круга качественных наречий, что традиционно не делает его «изменяемым» в полном грамматическом смысле.