Почему "Оберегая" пишется с буквы "е"?

Потому что это слово образовано от глагола «оберегать» (< «беречь» — ‘защищать, хранить’), где корень — берег-/береж-. В этой словообразовательной семье (беречь, уберечь, сберегать, бережно, оберег) во всех формах и производных пишется е: беречь — оберег — оберегать — оберегая.

Путаница обычно возникает из-за правила о чередовании бер/бир («брать»: забирать — заберу), где перед суффиксом -а- пишется и. Но это другая корневая морфема с иным значением (‘брать’), к «беречь/оберегать» она не относится. Поэтому в деепричастии правильно: оберегая (с буквой е в корне).