Раскройте скобки. Объясните правописание. Поезд идёт по новому мосту. Мы зажили по-новому. В дали прозрачной среди горы. Мелькает звёздочка вдали. Я приехал в деревню в начале лета. Вначале мне было трудно на новом месте, а затем я привык.

Поезд идёт по новому мосту.
В данном предложении правильно употреблено слово "новому". Оно является прилагательным, которое в данном контексте склоняется по падежам. Здесь оно стоит в дательном падеже (по новому мосту), потому что предлог "по" требует дательного падежа.

Мы зажили по-новому.
В этом предложении "по-новому" — это наречие, образованное от прилагательного "новый". В данном случае используется дефис, так как это наречие образовано от прилагательного с помощью приставки "по-" и имеет значение "по новому, по-новому". Такое сочетание требует дефиса.

В дали прозрачной среди горы.
В данном случае "дали" — это форма существительного "даль" в родительном падеже. Здесь ошибочно употреблено слово "дали", так как правильно будет "в дали прозрачной" (в родительном падеже, единственное число). В родительном падеже слово "даль" пишется через "и".

Мелькает звёздочка вдали.
В этом предложении слово "вдали" является наречием, образованным от существительного "даль". Оно пишется слитно и без дефиса, так как это наречие, указывающее на место (вдалеке).

Я приехал в деревню в начале лета.
Здесь слово "начале" стоит в предложном падеже (в начале лета), что указывает на определённый момент времени. Слово "начало" в предложном падеже всегда употребляется в форме "в начале".

Вначале мне было трудно на новом месте, а затем я привык.
Слово "вначале" пишется слитно, потому что это наречие, обозначающее начало какого-либо процесса или действия. В данном контексте "вначале" обозначает "в первый момент времени".