Луна — это естественный спутник Земли. Мы — ученики пятого класса. Красная площадь — сердце Москвы. Я знаю, что я Ваня. Шутки шутить — людей мутить. Щи да каша — пища наша. Но чудо чудное — ковыли на закате! Характер у него прескверный.

В этих предложениях встречаются разные типы сказуемых — простые и составные, а также предложения без сказуемого, так называемые назывные предложения. Разберём каждое по порядку:

1. Луна — это естественный спутник Земли.
   Здесь составное именное сказуемое: «естественный спутник Земли». Связка выражена словом «это». Подлежащее — «Луна».

2. Мы — ученики пятого класса.
   Составное именное сказуемое: «ученики пятого класса». Связка пропущена (в русском языке это норма в настоящем времени). Подлежащее — «мы».

3. Красная площадь — сердце Москвы.
   Также составное именное сказуемое: «сердце Москвы». Связка отсутствует. Подлежащее — «Красная площадь».

4. Я знаю, что я Ваня.
   В главной части — простое глагольное сказуемое «знаю».
   В придаточной части — составное именное сказуемое «я Ваня» (подлежащее «я», сказуемое — «Ваня»).

5. Шутки шутить — людей мутить.
   Здесь бессоюзное сложное предложение, где обе части имеют инфинитивные сказуемые: «шутки шутить» и «людей мутить». Это выражение пословичного характера, обе части построены на инфинитивах.

6. Щи да каша — пища наша.
   Составное именное сказуемое: «пища наша». Подлежащее — «щи да каша» (два существительных, соединённые союзом «да»).

7. Но чудо чудное — ковыли на закате!
   Составное именное сказуемое: «ковыли на закате». Подлежащее — «чудо чудное». Связка отсутствует.

8. Характер у него прескверный.
   Простое именное сказуемое выражено прилагательным «прескверный». Подлежащее — «характер».

Таким образом, большинство предложений — именные, с составным именным сказуемым. Только одно («Я знаю, что я Ваня») содержит глагольное сказуемое, а одно («Шутки шутить — людей мутить») построено на инфинитивах.