Как правильно написать " при большом желании" или "при большем желании"

Правильно — «при большом желании», если речь идет об устойчивом выражении в общем смысле: «если очень захотеть, это можно сделать». Здесь «большой» — качественное прилагательное в предложном падеже: при каком? — при большом (желании).

Форма «при большем желании» тоже грамматически верна, но употребляется только при подразумеваемом сравнении — при желании, большем, чем сейчас/чем у кого-то/чем раньше. Это уже сравнительная форма прилагательного «больший» (сравнение по степени):

• При большем желании он добился бы успеха. (то есть если бы хотел сильнее, чем сейчас)

Примеры для контраста:

• Это можно сделать при большом желании. — нейтральная, устойчивая формула.

• Он справился бы при большем желании. — сравнение с имеющейся степенью желания.

Итог: в большинстве случаев уместно «при большом желании»; выбирайте «при большем желании», только когда есть сравнение.