На берёзе определить падеж.

Коротко: это предложный падеж.

Почему так:

• Существительное: берёза (1-е склонение, ж. р.).

• Форма: берёзе — окончание -е, характерное для ед. числа в предложном и дательном падежах.

• Решает предлог и вопрос: с предлогом на в значении места задаём вопрос где? → на чём? → на берёзе. Это признак предложного.

• Для сравнения: направление к объекту было бы на что? → на берёзу (винительный), а дательный с этим существительным выглядел бы как к берёзе (вопрос к кому/к чему? и предлог к).

Итоговая разборка:
на — предлог; берёзе — сущ., ж. р., ед. ч., 1-е склонение, предложный падеж (значение места: «где?»).