по траве падеж

Это дательный падеж.

Почему так: предлог «по» в значении движения/распределения по поверхности, направлению внутри ограниченного пространства, а также «каждому/по отдельности» управляет дательным падежом:

• идти по траве;

• бегать по дороге;

• разлить суп по тарелкам;

• раздать по яблоку.

Форма «траве» совпадает у дательного и предложного падежей, но с «по» здесь работает именно правило управления: дательный.

Для сравнения:

• на траве — это уже предложный падеж (местонахождение без движения).

• по травам — дательный множественного числа.

• С предлогом «по» предложный падеж встречается в отдельных устойчивых выражениях со значением времени: по приезде, по окончании, но это не наш случай.

Итого: «по траве» — дательный падеж.