Какая часть речи ? живущий

Слово "живущий" — это причастие. Причастие — это часть речи, которая обозначает признак предмета по действию. В данном случае "живущий" выражает действие, которое происходит в настоящий момент, и отвечает на вопросы "какой?" или "что делающий?". Это деепричастие образовано от глагола "жить" и в данном контексте характеризует действие, происходящее в данный момент времени.

Причастия могут быть как действительными, так и страдательными. В данном случае "живущий" является действительным причастием, потому что обозначает того, кто выполняет действие — живёт.