Корень в слове "заявить"?

Корень — -яв-.

Разбор: за-яв-и-ть.
Приставка: за-.
Корень: -яв- (как в словах явить, объявить, появиться).
Суффикс глагола: -и-.
Формообразующий суффикс/окончание инфинитива: -ть.

Обратите внимание: в родственных словах возможна чередующаяся форма корня -яв-/-явл- (заявление, объявление, явление), но именно в глаголе заявить корень без «л»: -яв-.