Что означает слово "завязывать"?

«Завязывать» — многозначный глагол, в основе у него действие «делать узел/скреплять», но в речи он используется по-разному.

1. Прямое значение: связывать, стягивать, фиксировать что-то узлом, шнурком, лентой и т. п.
   Примеры: «завязывать шнурки», «завязывать пакет/мешок», «завязывать галстук», «завязывать волосы в хвост», «завязывать глаза платком».

2. Начинать, навязывать или устанавливать что-то (переносно).
   Примеры: «завязывать разговор», «завязывать знакомство», «завязывать переписку», «завязывать деловые отношения».

3. Разг. «Прекращать, бросать» — обычно в конструкции «завязывать с чем-то».
   Примеры: «Пора завязывать с курением», «Завязывай с этими ночными посиделками».

4. О начале активного действия/столкновения (книжн./разг.): «завязывать бой/драку/перепалку».
   Пример: «Под вечер войска завязывали бой за высоту».

5. В хозяйственном/садовом контексте — буквально «привязывать, подвязывать» части растений.
   Примеры: «завязывать ветви к шпалере», «завязывать помидоры к колышкам».
   (Отдельно: о растениях говорят «плоды завязываются» — это уже возвратная форма и значит «начинают образовываться завязи».)

Грамматика: несов. вид — «завязывать», сов. вид — «завязать». Стилистически нейтрально в прямом смысле; значения «начинать» и «прекращать» — разговорные.