Правописание "чу", "щу", "гощу".

Коротко: пишем чу, щу (а не чю, щю), а форма гощу — правильная (от гостить).

Почему «чу» и «щу», а не «чю» и «щю»

После шипящих ч, щ буква ю почти не пишется для звука [у]. В глагольных формах 1-го лица ед. числа всегда будет -у c соответствующей чередующейся согласной:

• учу, лечу, скучу (а не учю, лечю, скучю);

• пишу, брошу, решу;

• ищу, свищу, пущу.

Это — результат орфографического правила: после ч, щ пишем у, а не ю (исключения — в заимствованных существительных типа брошюра, но к глагольным окончаниям это не относится).

Откуда берётся «-щу»

Во многих глаголах при образовании формы 1-го лица ед. числа происходит чередование согласных перед -у:

• -ст- → -щ-: чистить → чищу, пустить → пущу, гостить → гощу;

• -с- → -ш-: писать → пишу, просить → прошу;

• -х- → -ш-: пахать → пашу.

Конкретно «гощу»

Инфинитив гостить (II спряжение). В 1-м лице ед. числа:

• основа гост- даёт чередование ст → щ,

• окончание — -у.
  Итого: я гощу. Формы гостю или гощю — неверны.

Итак: пишем чу, щу; в вашем примере правильно гощу.