Какоц падеж по турестической тропе

Судя по формулировке, вы спрашиваете, какой падеж нужен в сочетании «по туристической тропе».

Это дательный падеж.

• Предлог «по» очень часто требует дательного падежа, когда речь о движении вдоль/по поверхности/по маршруту, то есть “следуя чему-то”:
  идти по тропе, гулять по дорожке, ехать по дороге, плыть по реке.
  Здесь отвечает на вопрос по чему? → по тропе (дат. п.).

Почему именно так:

• Существительное «тропа» в дательном падеже единственного числа: тропе.

• Прилагательное «туристическая» тоже ставится в дательный падеж (ж.р., ед.ч.): туристической.
  И получается: по туристической тропе.

Для наглядности — как меняется слово «тропа»:

• И.п.: тропа

• Р.п.: тропы

• Д.п.: тропе

• В.п.: тропу

• Т.п.: тропой

• П.п.: тропе

Итог: «по туристической тропе» — дательный падеж (по чему? по тропе).