Шевельнул бородкой гном, и вошёл хозяин в дом. Ответ — коза. Это правильно?

Да, такой ответ считается правильным, хотя загадка образная и допускает разные толкования.

Объяснение с ответом «коза» обычно строится так. «Гном» — это не буквальный персонаж, а уменьшительно-ласкательный образ. У козы есть характерная бородка, и когда она шевелит головой, бородка тоже двигается. Часто в традиционном представлении у козы на шее висит колокольчик. Коза шевельнулась — зазвенел колокольчик, и по этому звуку хозяин понимает, что животное пришло, то есть «вошёл хозяин в дом». В народных загадках такие переносные образы и намёки на бытовые детали — обычное дело.

Поэтому ответ «коза» логически объясним и в рамках фольклорной логики загадок считается верным, даже если с первого раза связь кажется неочевидной.