Думать и стараться понять окружающее — отныне моя цель. Найти грамматическую основу.

Грамматическая основа — это подлежащее + сказуемое (или только один главный член в односоставном предложении). В вашем примере есть две части, и в каждой — своя грамматическая основа.

Предложение:
«Думать и стараться понять окружающее — отныне моя цель».

1) Первая часть (до тире)

«Думать и стараться понять окружающее» — это подлежащее, выраженное инфинитивами (неопределённой формой глагола).
Здесь два однородных инфинитива: думать и стараться понять (окружающее), вместе они образуют единое подлежащее: что? — думать и стараться понять окружающее.

2) Вторая часть (после тире)

«моя цель» — это сказуемое, выраженное существительным с зависимым словом (именная часть составного именного сказуемого).
Слово «отныне» — обстоятельство времени, к грамматической основе не относится.

Итог: грамматическая основа

Подлежащее: думать и стараться понять (окружающее)
Сказуемое: моя цель

То есть грамматическая основа: «думать и стараться понять — (есть) моя цель» (связка «есть» подразумевается).