В предложении "Уже третий день не переставая моросил дождь" не нужна запятая.

Запятая в предложении «Уже третий день не переставая моросил дождь» действительно не нужна.

Почему не ставится запятая

Оборот «не переставая» здесь — это деепричастие, но оно употреблено не как отдельное добавочное действие, а как часть сказуемого, то есть фактически отвечает на вопрос «как?» и тесно связано со сказуемым «моросил»:

• моросил как? — не переставая.

В таком употреблении деепричастный оборот теряет значение самостоятельного действия («переставая/не переставая» не выделяется как отдельное событие), а превращается в обстоятельство образа действия, которое воспринимается как единое целое со сказуемым: моросил непрерывно, без перерыва.

Как это можно проверить

Если оборот легко заменить наречием или близким по смыслу словом, запятая обычно не требуется:

• «…моросил дождь» → «…моросил дождь непрерывно» / «…моросил дождь без перерыва».

Здесь смысл не меняется, значит оборот работает как «непрерывно», а не как отдельное добавочное действие.

Когда запятая могла бы появиться

Запятая ставилась бы, если бы деепричастный оборот имел отчётливое добавочное действие, которое можно мысленно отделить и произнести с паузой. Например (для сравнения по смыслу):

• «Дождь моросил, не переставая, и к вечеру усилился» — здесь оборот можно интонационно отделить, он становится вставным уточнением.

Но в исходной фразе такой интонации и такой смысловой автономности нет: это просто характеристика непрерывности дождя.

Итог

В предложении «Уже третий день не переставая моросил дождь» запятая не нужна, потому что «не переставая» тесно примыкает к сказуемому и по смыслу равно «непрерывно / без перерыва».