Вставляем пропущенные буквы и сразу определяем спряжение (по начальной форме глагола).

1) Что любится, чем дышится…

• любится — от глагола любить (инф. на -ить) → II спряжение.
  Форма: 3-е л., ед. ч. (в данном контексте безличное: мне любится).

• дышится — от глагола дышать (инф. на -ать) → I спряжение.
  Форма: 3-е л., ед. ч. (безличное: мне дышится).

2) Душа чем ваша полнится…

• полнится — от глагола полниться (соотносится с полнить/полниться, основа на -ить) → II спряжение.
  Форма: 3-е л., ед. ч.

3) То в голосе услышится, то в песенке припомнится.

• услышится — от глагола услышать (инф. на -ать, это будущее время совершенного вида) → I спряжение.
  Форма: 3-е л., ед. ч. (буд. вр.).

• припомнится — от глагола припомниться (соотн. с припомнить, инф. на -ить) → II спряжение.
  Форма: 3-е л., ед. ч. (буд. вр.).

4) Тяжёлое забудется… То и с народом станется.

• забудется — от глагола забыться / забыть (буд. вр.: забудется) → I спряжение.
  Окончание -ет.

• станется — от глагола статься (станется) → I спряжение.
  Окончание -ет.

5) Что с родиною сбудется…

• сбудется — от глагола сбыться (сбудется) → I спряжение.
  Окончание -ет.

Какой из выделенных глаголов переходный, а какой — непереходный?

Обычно в этом задании выделены первые два: любится и дышится.

• Любить — переходный глагол (можно прямо “любить (кого? что?)”: любить родину, любить песню).
  Форма любится — возвратная/безличная, но по смысловой основе видно, что исходный глагол любить переходный.

• Дышать — непереходный глагол (нельзя: “дышать что” как прямое дополнение; обычно: дышать (чем?) воздухом).
  Соответственно дышится — тоже безличная форма непереходного глагола.

Итак: переходный — (любить →) “любится”, непереходный — (дышать →) “дышится”.