1) Он собирается заниматься в новой спортивной школе. 2) Стану сказывать я сказку. 3) Я буду учителем в вашей школе. 4) Я буду строить новый дом. 5) Он был охотник повеселиться. 6) Погода была хорошая. 7) Он просил нас приехать завтра. 8) Я не мог с ними встретиться.

«Он собирается заниматься в новой спортивной школе.»
Статус: корректно.
Комментарий: грамматически правильно — «собираться + инфинитив» выражает намерение. Можно также сказать «Он будет заниматься в новой спортивной школе» или «Он собирается ходить в новую спортивную школу», если нужно подчеркнуть регулярность занятий.

«Стану сказывать я сказку.»
Статус: некорректно.
Исправление: «Я буду рассказывать сказку.» или «Я начну рассказывать сказку.»
Комментарий: глагол «сказать» (или «сказать» — совершенный вид) здесь не подходит в форме «сказывать» (такого сочетания нет). Для действия в будущем обычно говорят «буду рассказывать» (длительное) или «скажу сказку» (однократное, завершённое). Слово «стану» возможно в сочетании «я стану рассказывать», но это менее естественно, чем «я буду рассказывать».

«Я буду учителем в вашей школе.»
Статус: корректно.
Комментарий: предложение правильное. Варианты: «Я буду работать учителем в вашей школе» — если хочется явно указать профессию как работу; «Я стану учителем в вашей школе» — если подчёркивается переход в новую роль.

«Я буду строить новый дом.»
Статус: корректно.
Комментарий: правильно. «Буду строить» — длительное действие в будущем. Если хочется подчеркнуть факт завершения, можно «Я построю новый дом.»

«Он был охотник повеселиться.»
Статус: некорректно.
Исправления (в зависимости от смысла):
— если имелось в виду «он хотел повеселиться»: «Он хотел повеселиться.»
— если имелось в виду «он был настроен повеселиться»: «Он был настроен повеселиться.»
Комментарий: «охотник» — существительное «охотник» (hunter) — здесь явно ошибка словоупотребления. В устойчивом разговорном выражении «охотник (быть охотником)» не совмещается с «повеселиться». Для выражения желания или намерения следует использовать «хотел», «настроен», «жаждал» и т. п.

«Погода была хорошая.»
Статус: допустимо, но стилистически лучше исправить.
Исправление: «Погода была хорошей.»
Комментарий: в книжной норме при связке «была» обычно употребляют творительный падеж приимика — «хорошей». В разговорной речи допустимы оба варианта: «погода была хорошая» (разговорный) и «погода была хорошей» (нейтрально/книжно).

«Он просил нас приехать завтра.»
Статус: корректно.
Комментарий: правильно построено — «просил (кого?) нас (что сделать?) приехать завтра». Если нужно подчеркнуть, что просьба уже сделана и завершена, можно сказать «Он попросил нас приехать завтра.»

«Я не мог с ними встретиться.»
Статус: корректно, но порядк слов лучше изменить.
Исправление: «Я не мог встретиться с ними.»
Комментарий: более естественный порядок — «не мог встретиться с ними». Обратите внимание на род/пол говорящего: если говорящая женщина, правильно «Я не могла встретиться с ними.» Также можно заменить на «Мне не удалось встретиться с ними», если подразумевается неуспех, а не невозможность.