Укажите грамматически правильное продолжение предложения. Готовясь к экзаменам,.... 1) у меня возникло много проблем 2) мне пришлось заниматься с репетитором 3) почти не оставалось свободного времени 4) ученик подбирал примеры из поэтических произведений

Правильное продолжение — 3) почти не оставалось свободного времени.

Почему именно так:

Деепричастный оборот «Готовясь к экзаменам» обозначает добавочное действие и относится к тому же лицу, которое выполняет основное действие (или находится в основном состоянии) в главной части предложения. То есть смысл такой: кто готовился, у того почти не оставалось свободного времени — здесь логика и грамматика совпадают, подлежащее восстанавливается естественно (я/он/она/они), и ошибки нет.

Разберём варианты:

1. «…у меня возникло много проблем» — грамматически это построено неудачно: получается, что «готовились проблемы», потому что в главной части нет действующего лица, а есть безлично-объектная конструкция «возникло». Такие сочетания с деепричастием считаются ошибочными.

2. «…мне пришлось заниматься с репетитором» — тоже некорректно в школьной норме: главная часть безличная («пришлось»), явного действующего лица нет, и формально выходит несоответствие: деепричастие требует того, кто совершает действие, а в главной части грамматического подлежащего нет.

3. «…почти не оставалось свободного времени» — корректно: смысл ясно привязан к тому, кто готовился (у него/у меня/у нас не оставалось времени). Такая конструкция воспринимается грамматически нормально.

4. «…ученик подбирал примеры из поэтических произведений» — грамматически возможно только если готовился именно ученик; но в исходной формулировке это выглядит как подмена лица: деепричастие задаёт ситуацию «готовясь», а продолжение внезапно вводит конкретного «ученика», что делает предложение стилистически и логически неестественным для типового задания (как правило, ожидается нейтральная конструкция без смены “действующего лица”). Поэтому как правильный вариант в тесте обычно не проходит.

Итак, в рамках задания выбирается вариант 3.