1) Благодаря кого-то за услугу - благодаря удачным обстоятельствам 2) Несмотря на дождливую погоду - не смотря по сторонам 3) Работа спустя рукава - спустя час 4) Не считая меня - не считая нужным 5) Бегать вокруг дома - вокруг было тихо 6) Вблизи школы - вблизи никого нет 7) Проехать мимо парка - проехать мимо

Во всех примерах нужно определить, чем является выделенное слово (или сочетание): предлогом (обычно производным) или деепричастием/наречием/сочетанием со значением обстоятельства, и как это влияет на написание (слитно/раздельно) и постановку запятых.

1) Благодаря кого-то за услугу — благодаря удачным обстоятельствам

• Благодаря кого-то за услугу
  Здесь благодаря = “выражая благодарность” (то есть это деепричастие от благодарить).
  Можно заменить: благодарив кого-то за услугу.
  Значит, это деепричастие, и к нему задаётся вопрос: что делая? — благодаря.

• Благодаря удачным обстоятельствам
  Здесь благодаря уже не про “говорить спасибо”, а про причину: “из-за, по причине”.
  Можно заменить: из-за удачных обстоятельств.
  Значит, это производный предлог.

Итог: в первом — деепричастие, во втором — предлог.

2) Несмотря на дождливую погоду — не смотря по сторонам

• Несмотря на дождливую погоду
  Это устойчивое сочетание со значением уступки: “вопреки”.
  Можно заменить: вопреки дождливой погоде.
  Значит, это производный предлог, пишется слитно: несмотря на.

• Не смотря по сторонам
  Здесь буквальный смысл: “не глядя”.
  Можно заменить: не глядя по сторонам.
  Значит, это деепричастие с отрицанием, пишется раздельно: не смотря.

Итог: “несмотря на” (слитно) — предлог; “не смотря” (раздельно) — деепричастие.

3) Работа спустя рукава — спустя час

• Работа спустя рукава
  Это фразеологизм: “небрежно, плохо”.
  В современном разборе спустя здесь по смыслу ближе к наречному/устойчивому обстоятельственному выражению (не про время “через”). Сочетание целиком выступает как обстоятельство образа действия: как? — спустя рукава.

• Спустя час
  Здесь значение времени: “через час”.
  Значит, спустя = производный предлог со значением времени (через).

Итог: “спустя час” — предлог; “спустя рукава” — устойчивое обстоятельственное выражение (фразеологизм).

4) Не считая меня — не считая нужным

• Не считая меня
  Значение: “кроме меня, исключая меня”.
  Можно заменить: кроме меня / исключая меня.
  Это производный предлог (в значении исключения).

• Не считая нужным
  Здесь смысл: “не считая (что?) нужным”, то есть “не полагая нужным”.
  Это действие: что делая? — не считая.
  Значит, это деепричастие с зависимым словом.

Итог: “не считая меня” — предлог; “не считая нужным” — деепричастие.

5) Бегать вокруг дома — вокруг было тихо

• Вокруг дома
  Здесь вокруг управляет существительным в родительном падеже: вокруг (чего?) дома.
  Значит, это предлог.

• Вокруг было тихо
  Здесь нет зависимого существительного, слово обозначает место само по себе: “вокруг (вокруг нас)”.
  Значит, это наречие (обстоятельство места).

Итог: “вокруг дома” — предлог; “вокруг было тихо” — наречие.

6) Вблизи школы — вблизи никого нет

• Вблизи школы
  Управляет существительным: вблизи (чего?) школы.
  Значит, это предлог.

• Вблизи никого нет
  Выступает самостоятельно, как указание места: “поблизости”.
  Значит, это наречие.

Итог: “вблизи школы” — предлог; “вблизи никого нет” — наречие.

7) Проехать мимо парка — проехать мимо

• Мимо парка
  Есть зависимое слово: мимо (чего?) парка.
  Значит, это предлог.

• Проехать мимо
  Зависимого слова нет, “мимо” используется как обстоятельство: “проехать мимо (не заезжая/не останавливаясь, мимо чего-то подразумеваемого)”.
  В таких случаях “мимо” выступает как наречие (обстоятельство).

Итог: “мимо парка” — предлог; “проехать мимо” — наречие.

Короткое резюме по всем пунктам

1. благодаря (деепр.) — благодаря (предлог)

2. несмотря на (предлог, слитно) — не смотря (деепр., раздельно)

3. спустя рукава (фразеологизм, обстоятельство образа действия) — спустя (предлог времени)

4. не считая (предлог “кроме”) — не считая (деепр.)

5. вокруг (предлог) — вокруг (наречие)

6. вблизи (предлог) — вблизи (наречие)

7. мимо (предлог) — мимо (наречие)