В каких случаях на месте пропуска произносится [э], а в каких [о]? Гололёдица, опёка, афёра.

Речь про букву Ё после мягких согласных (л’, п’, ф’) в безударной позиции: на письме это «ё», а в произношении в зависимости от нормы и степени редукции слышится либо [о], либо более «светлый» призвук [э].

Общее правило (что происходит с «ё» без ударения)

Буква ё всегда обозначает сочетание [й’о] после гласной и [о] (с призвуком йотовости/смягчения предыдущего согласного) после согласной.
Но в безударном положении звук [о] после мягкого согласного часто ослабляется и сдвигается к [э]: получается не чистое [о], а что-то вроде [’ɵ]/[’э]-подобного. В живой речи это и воспринимается как «то ли о, то ли э».

Дальше важны два фактора:

1. Норма конкретного слова (есть слова, где «ё» в безударном слоге всё равно принято произносить как [о], а есть, где чаще слышится «эканье»).

2. Положение относительно ударения: в предударном слоге звук обычно «ближе к [о]», а в заударных — чаще «светлеет» (ближе к [э]).

По вашим словам

1) гололёдица

Ударение: гололёдица (на ё).
Здесь ё ударное, поэтому произношение однозначное: [о] (точнее [’о] после мягкого л’).
Никакого [э] тут не бывает в нормативном произношении, потому что редукция не действует на ударный звук.

Итог: произносится [о]: гололо́дица (с мягким л’).

2) опёка

Ударение: обычно опёка (на ё).
Ситуация такая же, как в предыдущем слове: ё под ударением, значит звучит как [о] (после мягкого п’).

Итог: [о]: опо́ка (с мягким п’).

3) афёра

Вот это слово как раз «проблемное» не из-за [э]/[о], а из-за конкурирующих вариантов в речи.

Нормативно (в литературной норме) принято афёра с ё, то есть с ударением на этом слоге: афёра. Тогда звук снова ударный и будет [о] (после мягкого ф’).

При этом в разговорной практике очень часто встречается вариант афера (без «ё»), но он считается ненормативным/разговорно-ошибочным по отношению к строгой орфоэпической норме. Однако это уже другая история: это не «[э] вместо [о]», а замена ё на е в слове.

Итог по норме: [о]: афо́ра (с мягким ф’).

Где тогда вообще бывает [э] на месте «ё»?

[э]-подобное звучание появляется главным образом тогда, когда ё безударное (например, в формах/производных, где ударение уходит), и особенно в слабых позициях (после мягких согласных в заударных слогах). Тогда «ё» может редуцироваться так, что на слух оно приближается к [э].

Но в трёх приведённых словах во всех нормативных вариантах ё ударное, поэтому на месте пропуска произносится [о], а не [э].