Мороз пробежал по всему телу при мысли, в чьих руках я находился (Пушкин).
Я ведь прекрасно знаю, чьи это шутки (Гоголь).

Мороз пробежал по всему телу при мысли в чьих руках я находился (Пушкин).

Грамматическая основа: "Мороз пробежал" (подлежащее — "Мороз", сказуемое — "пробежал").
Вторая часть предложения является вводным элементом и не имеет своей отдельной основы, так как это пояснение к первому предложению.

Сочинительный союз: В данном предложении нет сочинительных союзов, так как оно состоит из одного простого предложения с вводной конструкцией, которая уточняет мысль. "При мысли" — это обстоятельство, которое дополнительно раскрывает смысл первого предложения. Знаки препинания: нужно поставить запятую перед "в чьих руках я находился", так как это уточняющая конструкция. Правильный вариант:
Мороз пробежал по всему телу при мысли, в чьих руках я находился.

Я ведь прекрасно знаю чьи это шутки (Гоголь).

Грамматическая основа: "Я знаю" (подлежащее — "Я", сказуемое — "знаю").
Вторая часть предложения — это дополнение (вопросительное слово "чьи").

Сочинительный союз: В этом предложении нет сочинительных союзов. Союз "ведь" является частицы, которая вводит пояснение или усиление утверждения. Он не связывает однородные члены предложения и не соединяет части сложносочинённого предложения. Знаки препинания: запятая перед словом "чьи" не требуется, так как "чьи это шутки" является прямым дополнением, не требующим отделения запятой. Правильный вариант:
Я ведь прекрасно знаю, чьи это шутки.