Есть ли у слова "шипучий" краткая форма?

Да, у слова «шипучий» есть краткая форма, потому что это качественное прилагательное (а качественные прилагательные в русском языке обычно образуют краткие формы).

Краткие формы такие:

• м. р.: шипуч
  Напиток шипуч.

• ж. р.: шипуча
  Вода шипуча.

• ср. р.: шипуче
  Пиво шипуче.

• мн. ч.: шипучи
  Напитки шипучи.

При этом в живой речи краткие формы «шипуч», «шипуча» и т. п. встречаются заметно реже, чем полная форма «шипучий» — чаще говорят: шипучий напиток, шипучая вода. Но с точки зрения грамматики краткая форма есть и она нормативна.