Как правильно написать "Эге-гей!"?

Правильно: «Эге-гей!» — через дефис, с восклицательным знаком в конце, если передается возглас.

Это междометие, которое пишется через дефис, потому что состоит из двух выкрикоподобных частей: «эге» и «гей». Такая форма используется для оклика, выражения удали, веселья, призыва обратить внимание.

Примеры:

• Эге-гей! Кто там?

• Эге-гей, друзья, вперед!

Если это слово стоит внутри предложения, после него может быть запятая, а не восклицательный знак:

• Эге-гей, честной народ, собирайтесь!

То есть нормативное написание — именно «Эге-гей!».