Как я ни боялся щекотки, я не вскочил с постели и не отвечал ему, а только глубже запрятал голову под подушки, и изо всех сил брыкал ногами и употреблял все старания удержаться от смеха.

В этом предложении сочетание «как я ни боялся щекотки» — это не вопрос и не сравнение, а уступительная конструкция, по смыслу близкая к: «хотя я очень боялся щекотки», «несмотря на то, что я боялся щекотки».

Здесь важно именно написание «ни», а не «не».

Почему так:

1. Обороты с «как ни», «кто ни», «что ни», «где ни», «сколько ни» выражают уступку.
   То есть действие во второй части происходит вопреки тому, о чём говорится в первой части.

2. В вашем примере смысл такой:
   Как я ни боялся щекотки, я всё равно не вскочил с постели и не отвечал ему.
   Иначе говоря: хотя боялся очень сильно, всё равно не вскочил.

3. Поэтому правильно:
   «Как я ни боялся щекотки...»

Если бы стояло «не», смысл и конструкция были бы уже другими, и в данном контексте это было бы ошибкой.

Можно проверить заменой:

• Как я ни боялся щекотки...

• Хотя я и боялся щекотки...

• Несмотря на то что я боялся щекотки...

Все эти варианты передают один и тот же основной смысл.

Кроме того, запятая после «щекотки» ставится потому, что первая часть — это придаточная уступительная, а дальше идёт главная часть:
«...я не вскочил с постели и не отвечал ему...»

Итак, в этом предложении:

• «ни» пишется потому, что это уступительный оборот «как ни...»;

• вся первая часть означает «хотя и...»;

• запятая ставится на границе придаточной и главной части.