К какой части речи относится слово "падёж" и какое правило написания ь после шипящих к нему относится?

Слово «падёж» относится к существительным мужского рода. Оно обозначает грамматическую категорию, которая указывает на синтаксическую функцию слова в предложении (например, именительный, родительный падеж).

Что касается правила написания мягкого знака ь после шипящих: в слове «падёж» мягкий знак пишется на конце слова после шипящей ж. Это соответствует следующему правилу русского языка:

• Мягкий знак пишется после шипящих на конце существительных мужского рода в именительном падеже единственного числа, если слово обозначает предмет, лицо, явление, понятие и не оканчивается на -о.

• Примеры: «муж» → «мужь», «падёж», «надежь» (устаревшее).

То есть в слове «падёж» мягкий знак нужен, потому что оно мужского рода и оканчивается на шипящую ж.

Если хочешь, могу кратко объяснить почему женские существительные после шипящих на конце пишутся иначе — там своя логика.