Как правильно пишется: "отродяся" или "отрадяся"?

Правильный вариант — «отрадяся».

Слово «отрадяся» происходит от прилагательного «отрадный», которое значит «приятный, радующий, доставляющий удовольствие». В старославянской и церковнославянской форме встречается именно эта часть «-рад-», а не «-род-».

Пример употребления:

• Душа его отрадяся при виде старых друзей.
  То есть «отрадяся» означает «обрадовался», «возрадовался», и пишется через букву а после приставки «от-».

Форма «отродяся»» встречается крайне редко и считается ошибочной. Она могла возникнуть как искажённая форма, но нормативная орфография русского языка подтверждает только «отрадяся».