Три братца пошли на реку купаться. Двое купаются, а третий на берегу валяется. Объясните написание глаголов.

В предложении есть глаголы: пошли, купаться, купаются, валяется.

Главное здесь — написание -ться и -тся.

Пошли — это глагол прошедшего времени, множественного числа:
три братца что сделали? — пошли.
Пишется без мягкого знака, потому что это форма прошедшего времени с окончанием -и.

Купаться — глагол в неопределённой форме. Проверяем вопросом:
пошли что делать? — купаться.
В вопросе есть мягкий знак: что делать? Поэтому и в глаголе пишется ь: купаться.

Купаются — глагол настоящего времени, 3-го лица, множественного числа:
двое что делают? — купаются.
В вопросе что делают? мягкого знака нет, поэтому в глаголе пишется -тся, без мягкого знака: купаются.

Валяется — глагол настоящего времени, 3-го лица, единственного числа:
третий что делает? — валяется.
В вопросе что делает? мягкого знака тоже нет, значит пишем -тся, без мягкого знака: валяется.

Правило такое:
если глагол отвечает на вопросы что делать? что сделать?, пишется -ться: купаться;
если отвечает на вопросы что делает? что делают?, пишется -тся: валяется, купаются.