1. Большинство студентов института, состоящих в спортивных секциях, уже сдали нормы по лыжам. 2. Ряд мер, направленных на поднятие дисциплины среди учащихся, принимается администрацией школы. 3. Подавляющее большинство учеников и учениц нашего класса показало на экзаменах глубокие знания. 4. Установлены три новых мировых рекорда. 5. Сорок два станка неумолчно гудели и равномерно вздрагивали. 6. Много детей было больны гриппом. 7. Мы вошли в кабинет директора, после того как девушка-секретарь доложила о нашем приходе. 8. Такси стояло у ворот дома. 9. Эти пол-арбуза, как дети сразу догадались, были отложены для них. 10. Ты и твои друзья окажете нам помощь и на этот раз.

Разберу предложения именно как случаи согласования сказуемого с подлежащим и отмечу, где форма удачна, где лучше исправить.

Правильность форм сказуемого здесь зависит от того, чем выражено подлежащее: словом типа большинство, количественным сочетанием, неизменяемым существительным, составным подлежащим и т. д.

1. Большинство студентов института, состоящих в спортивных секциях, уже сдали нормы по лыжам.

Форма сдали допустима. Подлежащее выражено сочетанием большинство студентов. При словах большинство, меньшинство, часть, ряд сказуемое может стоять как в единственном, так и во множественном числе. Здесь множественное число оправдано, потому что речь идет о конкретных студентах как о множестве лиц, совершивших действие.

Можно и так:

Большинство студентов института, состоящих в спортивных секциях, уже сдало нормы по лыжам.

Но вариант сдали тоже не является ошибкой.

2. Ряд мер, направленных на поднятие дисциплины среди учащихся, принимается администрацией школы.

Форма принимается правильна. Подлежащее — ряд мер. Главным словом является ряд, поэтому сказуемое ставится в единственном числе.

Лучше стилистически заменить поднятие дисциплины на повышение дисциплины:

Ряд мер, направленных на повышение дисциплины среди учащихся, принимается администрацией школы.

Грамматически же форма сказуемого выбрана верно.

3. Подавляющее большинство учеников и учениц нашего класса показало на экзаменах глубокие знания.

Форма показало правильна. Подлежащее — подавляющее большинство учеников и учениц. Главное слово — большинство, поэтому единственное число среднего рода здесь уместно.

Особенно важно слово подавляющее: оно усиливает значение единой совокупности, поэтому форма единственного числа звучит естественно.

4. Установлены три новых мировых рекорда.

Форма установлены правильна. Подлежащее выражено количественным сочетанием три новых мировых рекорда. При числительных два, три, четыре сказуемое часто ставится во множественном числе, особенно если подчеркивается наличие нескольких отдельных предметов или фактов.

Возможен и вариант:

Установлено три новых мировых рекорда.

Но данное предложение с формой установлены является нормативным.

5. Сорок два станка неумолчно гудели и равномерно вздрагивали.

Форма гудели и вздрагивали правильна. Подлежащее — сорок два станка. Несмотря на количественное сочетание, сказуемое может стоять во множественном числе, если подчеркивается, что действие совершали отдельные предметы.

Здесь каждый станок гудел и вздрагивал, поэтому множественное число вполне оправдано.

6. Много детей было больны гриппом.

Это предложение построено неправильно. Ошибка в сочетании форм: было стоит в единственном числе среднего рода, а больны — во множественном числе.

Лучше исправить так:

Много детей болело гриппом.

Или:

Многие дети были больны гриппом.

Второй вариант даже более естественен, если нужно сохранить именную часть сказуемого были больны.

7. Мы вошли в кабинет директора, после того как девушка-секретарь доложила о нашем приходе.

Форма доложила правильна. Подлежащее — девушка-секретарь. В таких сочетаниях сказуемое обычно согласуется с первым словом, если оно обозначает лицо по полу. Поэтому правильно: девушка-секретарь доложила.

Если бы было просто секретарь, то возможны были бы варианты в зависимости от пола лица:

Секретарь доложил — если мужчина.
Секретарь доложила — если женщина.

Но в данном предложении слово девушка прямо указывает на женский род.

8. Такси стояло у ворот дома.

Форма стояло правильна. Существительное такси неизменяемое и относится к среднему роду. Поэтому сказуемое согласуется с ним в среднем роде:

такси стояло,
такси подъехало,
такси остановилось.

9. Эти пол-арбуза, как дети сразу догадались, были отложены для них.

Предложение неудачное. Сочетание эти пол-арбуза звучит грамматически неправильно: речь идет об одной половине арбуза, поэтому лучше перестроить фразу.

Правильно:

Эта половина арбуза, как дети сразу догадались, была отложена для них.

Или:

Пол-арбуза, как дети сразу догадались, было отложено для них.

Первый вариант лучше стилистически, потому что он звучит естественнее.

10. Ты и твои друзья окажете нам помощь и на этот раз.

Форма окажете правильна. Подлежащее составное: ты и твои друзья. Если в состав подлежащего входит местоимение ты, то сказуемое ставится во 2-м лице множественного числа:

ты и друзья окажете,
ты и брат придете,
ты и родители поможете.

Поэтому предложение составлено верно.

Итак, явные ошибки есть в предложениях 6 и 9.

Исправленные варианты:

6. Много детей болело гриппом.
или
Многие дети были больны гриппом.

9. Эта половина арбуза, как дети сразу догадались, была отложена для них.
или
Пол-арбуза, как дети сразу догадались, было отложено для них.